[제대로된 선형대수] Week 3-04 Fundamental Subspaces of Linear Algebra

영상 링크: https://www.youtube.com/watch?v=S89iKlfzCsc

해당 글은 위 영상 링크의 내용을 토대로 작성한 것입니다.
좋은 컨텐츠를 제작하고 공유해주신 훈러닝님 감사합니다.

 

①: $Ker\left ( T \right ) \cap R\left ( T^{\ast} \right ) = \left \{ 0 \right \}$ (Refer to [제대로된 선형대수] Week 2-05 Rank Theorem)

  → 오케이, 저기 안에 $R\left ( T^{\ast} \right )$ 가 포함되어 있겠다.

 

②: $dim\left( X \right ) - nullity\left ( T \right ) = rank\left ( T \right )$ (by Thrm of LA)

③: $rank\left ( T \right ) = rank\left ( T^{\ast} \right )$ (by Rank Thrm)

  → 오케이, 저기는 $R\left ( T^{\ast} \right )$ 로 꽉 차있겠다.

 

자 이제부터 우리는 $R\left ( T^{\ast} \right )$ 와 $Ker\left ( T \right )$ 가 orthogonal subspaces 라는 것을 보일 것이다.

 

Thrm 308.

$R\left ( T^{\ast} \right )^{\perp} = Ker\left ( T \right )$

즉슨 $R\left ( T \right )^{\perp} = Ker\left ( T^{\ast} \right )$

 

pf) $\left ( \Rightarrow \right )$ $x \in R\left ( T^{\ast} \right )^{\perp}$ 가 있다고 하자.

$\to \left < x, T^{\ast} \left ( u \right ) \right >_X = 0 \; \forall u \in U$ $\left ( T^{\ast} \left ( u \right ) \in R\left ( T^{\ast} \right ) \right )$

$\to \left < T\left ( x \right ), u \right >_U = 0 \; \forall u \in U$ (by Thrm 276)

$\to T\left ( x \right ) = 0$

$\to x \in Ker\left ( T \right )$

$\left ( \Leftarrow \right )$ $x \in Ker\left ( T \right )$ 가 있다고 하자.

Let $y \in R\left ( T^{\ast} \right )$, then $\exists \, u \in U \; s.t. \; T^{\ast}\left ( u \right ) = y$

Then $\left < x, y \right > = \left < x, T^{\ast}\left ( u \right ) \right > = \left < T\left ( x \right ), u \right > = \left < 0, u \right >$ (by $x \in Ker\left ( T \right )$)

So, $\left < 0, u \right > = 0$

Since this holds for any $y \in R\left ( T^{\ast} \right )$, $x \in R\left ( T^{\ast} \right )^{\perp}$ $\square$

 

$+ \alpha$) $R\left ( T^{\ast} \right ) \oplus Ker\left ( T \right ) = X$ (By Thrm 306)

   $\to dim\left ( R\left ( T^{\ast} \right ) \right ) + dim\left ( Ker\left ( T \right ) \right ) = dim\left ( X \right )$

 

Corl 309. $dim\left ( X \right ) = rank\left ( T^{\ast} \right ) + nullity\left ( T \right )$

             $= rank\left ( T \right ) + nullity\left ( T \right )$ (by Thrm 104)

             $\therefore rank\left ( T^{\ast} \right ) = rank\left ( T \right )$

 

Fundamental Subspaces of Linear Algebra

 

Corl 310. 만일 $T\left ( x \right ) = Ax$ 로 정의된다면?

 

Corl 311. $rank\left ( A \right ) = rank\left (A^{\top} \right )$

$\ast \; rank\left ( A \right ):$ A의 서로 독립적인 열벡터의 개수

$\Rightarrow$ 따라서 A 에서 서로 독립인 열벡터와 행벡터의 개수가 서로 같다는 말이다.

 

 

Fundamental subspaces 의 활용

* Compatibility condition

  $Ax = y$ sol? (= What is $x$?)

  현재 우린 $A$ 와 $y$ 를 이미 알고 있는 상황.

  하지만 $x$ 를 구하기에는 너무 비싼 알고리즘을 사용해야한다.

  $x$ 를 구하기 전에 먼저 $x$ 를 구할 수 있는지 알아보는게 필요하다.

  $\rightleftharpoons y \in col\left ( A \right ) \; ?$

  $\rightleftharpoons y \notin N\left ( A^{\top} \right ) \; ?$

  $\rightleftharpoons \left < v, y \right > = 0 \; ?$ when $A^{\top}v = 0 \left ( v \in N\left ( A^{\top} \right ) \right )$

  $\therefore$ if $\left < v, y \right > = 0$, $x$ 가 존재한다.

 

Video watch on 2023. 03. 28.
Last update: 2023. 04. 24.
Written by Taejun Lim

 

복습

1. 2023/05/30